显然的，对于n维欧几里得空间E^n=（R^n，d），距离函数d满足前两条公理，对于第三个公理，我们可以用柯西不等式验证。

　　接下来，我们了解一些更多的东西。

　　设（S，u）为一个度量空间，A⊆S，然后，我们用记号u|A×A表示u限制在A×A上。可以证明的是，（A，u|A×A）仍然是一个度量空间。它叫做（S，u）的一个子空间。

　　还有一种做法，叫做积空间。

　　设（A1，a1），（A2，a2）,...,（An，an）是n个（n大于等于1）度量空间，使得：

　　S=A1×A2×...×An

　　u：S×S→R，使得对于任何x=（x1，x2，...，xn）∈S，y=（y1，y2，...，yn）∈S，

　　*这里的x1，y1实际上指的是A1中的一个坐标，x2，y2实际上指的是A2中的一个坐标，其余以此类推，不可与两点间距离公式混淆

　　可以验证，（S，u）是一个度量空间，叫做（A1，a1），（A2，a2）,...,（An，an）的积空间。

　　记作：（A1，a1）×（A2，a2）×...×（An，an）

　　接下来，我们可以加快车速了。

　　开集的定义：

　　若A的一点a有一个球形邻域⊊A，则点a叫做A在X中的内点。