显然的,对于n维欧几里得空间E^n=(R^n,d),距离函数d满足前两条公理,对于第三个公理,我们可以用柯西不等式验证。
接下来,我们了解一些更多的东西。
设(S,u)为一个度量空间,A⊆S,然后,我们用记号u|A×A表示u限制在A×A上。可以证明的是,(A,u|A×A)仍然是一个度量空间。它叫做(S,u)的一个子空间。
还有一种做法,叫做积空间。
设(A1,a1),(A2,a2),...,(An,an)是n个(n大于等于1)度量空间,使得:
S=A1×A2×...×An
u:S×S→R,使得对于任何x=(x1,x2,...,xn)∈S,y=(y1,y2,...,yn)∈S,
*这里的x1,y1实际上指的是A1中的一个坐标,x2,y2实际上指的是A2中的一个坐标,其余以此类推,不可与两点间距离公式混淆
可以验证,(S,u)是一个度量空间,叫做(A1,a1),(A2,a2),...,(An,an)的积空间。
记作:(A1,a1)×(A2,a2)×...×(An,an)
接下来,我们可以加快车速了。
开集的定义:
若A的一点a有一个球形邻域⊊A,则点a叫做A在X中的内点。